Pour vous faire comprendre ce qu'est un nombre têtu, étudions le premier d'entre eux : 142857.
Qu'est-ce qu'un nombre têtu ? Exemple avec 142857
Voici la première propriété d'un nombre têtu illustrée par un exemple :
- 142857 × 1 = 142857
- 142857 × 2 = 285714
- 142857 × 3 = 428571
- 142857 × 4 = 571428
- 142857 × 5 = 714285
- 142857 × 6 = 857142
142857 est dit « têtu » car ses multiples, jusqu'à 142857 × 6, sont composés des mêmes chiffres dans le même ordre circulaire, mais avec un chiffre de départ différent.
Autres propriétés étonnantes de 142857
- 1 + 8 = 4 + 5 = 2 + 7 = 9
- 14 + 28 + 57 = 99
- 142 + 857 = 999
- 142857 × 7 = 999999
- 1/7 = 0,142857142857142857...
Définition mathématique des nombres têtus
Pour généraliser les propriétés de 142857 aux nombres têtus, il faut d'abord comprendre les nombres « périodiques ». Vous pouvez consulter mon article à ce sujet ici.
Je n'ai pas les moyens techniques de démontrer les formules qui vont suivre (je ne peux pas écrire de formules mathématiques ici), mais si vous souhaitez consulter mon article complet sur les nombres têtus, c'est par ici.
Définition d'un nombre têtu :
Un nombre têtu est le motif de l'inverse d'un nombre premier p, composé de p − 1 chiffres.
Par exemple, le motif de 1/7 est 142857, composé de 7 − 1 = 6 chiffres : 142857 est donc têtu. En revanche, le motif de 1/13 est 076923, composé de 6 chiffres (et non 12) : 076923 n'est donc pas têtu.
Propriétés des nombres têtus
Tous les multiples d'un nombre têtu X, composé de Y chiffres, de 1 × X jusqu'à Y × X, possèdent les mêmes chiffres dans le même ordre.
Cette propriété est vérifiée pour 142857. Vous pouvez la tester avec le nombre têtu suivant : 0588235294117647 (le 0 à gauche est gardé car il « s'exprime » dans le motif), qui est le motif de 1/17.
La propriété de la coupe en deux
Si l'on « coupe » en deux un nombre têtu possédant y chiffres, la somme des deux nombres obtenus est égale à 10^(y/2) − 1 (le ^ signifie « puissance »).
Exemples :
- Pour 142857, on a 142 + 857 = 999 = 10³ − 1.
- Pour 0588235294117647, on a 05882352 + 94117647 = 99999999 = 10⁸ − 1.
Formule d'un nombre têtu
Un nombre x est têtu si et seulement s'il est le motif de l'inverse d'un nombre premier p et que ce motif est composé de p − 1 chiffres. Ainsi :
- x / (10^(p−1) − 1) = 1/p
- x = (10^(p−1) − 1) / p
Merci aux courageux qui ont tout lu !